TICBlog de angelmicelti: La sorprendente aparición de una curva muy conocida via Gaussianos

Las cónicas son las curvas que surgen de la intersección entre un cono y un plano. Bueno, más concretamente entre un cono de sección circular con sus dos “cucuruchos” y un plano que no pase por su vértice. Realizando esta intersección podemos encontrarnos con cuatro curvas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Aquí tenéis una imagen de cómo conseguir cada una de ellas:

Cónicas

(Sacada de aquí.)

Pero hay otra formas de definir estas cónicas. La circunferencia es la curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un cierto punto denominado centro; la parábola es la curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un cierto punto, denominado foco, y de una recta, llamada directriz; la elipse puede verse como la curva formada por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos dados, llamados focos, es la misma; y la hipérbola como la curva formada por los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos dados (en valor absoluto), también denominados focos, es constante.

Fijémonos en los dos últimos casos: suma y resta (en valor absoluto) de distancias. Poco curiosos seríamos si no estuviéramos tentados a probar con las otras operaciones elementales. Y por aquí ya lo hemos sido. La curva formada por los puntos cuyo producto de distancias a dos puntos dados, llamados de nuevo focos, es constante es la lemniscata , que ya no es una cónica pero sí que es una curva muy interesante.

¿Y qué ocurre con el cociente? Pues eso es lo que vamos a ver hoy. Vamos a tratar de completar este esquema:

Suma de distancias constante=elipse; resta (en valor absoluto) de distancias constante=hipérbola; producto de distancias constante=lemniscata; cociente de distancias constante=¿?

Cociente de distancias constante igual a curva muy conocida

Hay varias formas de tratar el tema, pero aquí lo vamos a hacer de forma analítica, es decir, con coordenadas. De esta forma, y teniendo en cuenta que sin pérdida de generalidad podemos suponer que los dos puntos fijos iniciales están sobre el eje X de forma simétrica respecto del origen, el planteamiento de la cuestión quedaría así:

Dados dos puntos $P_1=(a,0)$ y $P_2=(-a,0)$ , ¿qué curva es la formada por los puntos $(x,y)$ tales que el cociente de distancias a $P_1$ y $P_2$ es una cierta constante $d$ ?

Será un pájaro, será un avión. Pues no. En realidad es…

…paciencia, que nos quedan algunas cuentecitas.

En primer lugar recordemos que la distancia euclídea entre dos puntos $A=(a_1,a_2)$ y $B=(b_1,b_2)$ del plano de define así:

$dist(A,B)=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$

Usando eso, el planteamiento descrito antes nos dice que lo que queremos saber es qué curva es la formada por los puntos $(x,y)$ que cumple la siguiente igualdad:

$\cfrac{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}=d$

Elevando al cuadrado en ambos lados y pasando el numerador multiplicando a la derecha obtenemos la siguiente igualdad:

$(x-a)^2+y^2=d^2 \; ((x+a)^2+y^2)$

Operamos a ambos lados, y nos queda:

$x^2-2ax+a^2+y^2=d^2x^2+2d^2ax+d^2a^2+d^2y^2$

Se va viendo ya, ¿verdad? Sigamos.

Si nos llevamos todos los términos al lado derecho de la igualdad y agrupamos de manera conveniente obtenemos lo siguiente:

$(d^2-1) x^2+(d^2-1) y^2+(2ad^2+2a) x+(d^2-1) a^2=0$

Ya casi está. Dividimos ahora en ambos lados entre $d^2-1$ , obteniendo lo siguiente:

$x^2+y^2+\cfrac{2a(d^2+1)}{d^2-1} \; x +a^2=0$

Ya no hay dudas, ¿no? Efectivamente, la curva buscada es, sorprendentemente, una circunferencia. ¿Qué circunferencia? Para describirla necesitamos el centro y el radio, que vamos a obtener de la expresión anterior completando cuadrados en $x$ , es decir, utilizando que

$x^2+kx=\left (x+\frac{k}{2} \right )^2- \left ( \frac{k}{2} \right )^2$

Nos queda la siguiente expresión:

$\left ( x+\cfrac{a(d^2+1)}{d^2-1} \right )^2+y^2+a^2-\cfrac{a^2(d^2+1)^2}{(d^2-1)^2}=0$

Operando los dos últimos términos y pasando el resultado a la derecha obtenemos la ecuación de la circunferencia en su forma general:

$\left ( x+\cfrac{a(d^2+1)}{d^2-1} \right )^2+y^2=\cfrac{4a^2d^2}{(d^2-1)^2}$

Es decir, la curva formada por los puntos $(x,y)$ tales que el cociente de sus distancias a dos puntos dados, $P_1=(a,0)$ y $P_2=(-a,0)$ , es una constante $d$ es la circunferencia de centro

$\left (- \cfrac{a(d^2+1)}{d^2-1},0 \right )$

y radio $\cfrac{2ad}{d^2-1}$ .

¿Esperabais que la curva buscada fuera una circunferencia? Yo no, la verdad.

Bueno, vamos a hacer algunos comentarios sobre el tema. Si os fijáis, la ecuación de esta circunferencia no tiene sentido si $d=1$ . ¿Qué ocurre en este caso? Volvamos al paso donde se elevó al cuadrado y se pasó el denominador a la derecha:

$(x-a)^2+y^2=(x+a)^2+y^2$

Si operamos ahora, como antes, nos queda lo siguiente:

$x^2-2ax+a^2+y^2=x^2+2ax+a^2+y^2$

Si simplificamos los términos iguales a ambos lados de la igualdad obtenemos la siguiente expresión:

$-2ax=2ax$

Pasando todo al lado izquierdo y dividiendo entre $-2a$ (recordemos que $a \ne 0$ ) obtenemos que la curva formada por los puntos cuyo cociente de distancias a $P_1$ y $P_2$ es constantemente 1 es la recta $x=0$ , es decir, el eje Y. En general, para dos puntos cualesquiera, esta curva correspondería con la mediatriz del segmento que une dichos puntos.

¿Y si $d < 1$ ? El radio de la circunferencia buscada sería un número negativo. ¿Qué hacemos? Muy sencillo: cambiamos los papeles de $P_1$ y $P_2$ , pasando a ser ${1 \over b} > 1$ el cociente constante de las distancias.

Y para terminar os dejo un applet de GeoGebra donde podéis ver gráficamente lo que hemos estado describiendo en esta entrada. Tenéis tres parámetros con cuyo valor podéis jugar:

El primero $p$ (en verde), gira el punto $P$ a lo largo de la circunferencia, y moviéndolo podéis ver que para cualquier punto el cociente de distancias es siempre el mismo. Podéis moverlo vosotros mismos o pulsar el botón Play de abajo a la izquierda para que lo haga solo.

El segundo, $a$ (en rojo) controla la colocación de los puntos, y va de 1 a 6, esto es, podemos representar la situación anterior para todas las parejas de puntos $(a,0), \; (-a,0)$ con $1 \le a \le 6$ .

Y el tercero, $d$ (en azul), nos permite definir el valor concreto que queremos darle al cociente de distancias, que he definido en este applet entre 1,5 (cerca de 1 hacía cosas raras) y 10.

Aquí lo tenéis:

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