miércoles, 22 de agosto de 2012

La sorprendente aparición de una curva muy conocida via Gaussianos

Las cónicas son las curvas que surgen de la intersección entre un cono y un plano. Bueno, más concretamente entre un cono de sección circular con sus dos “cucuruchos” y un plano que no pase por su vértice. Realizando esta intersección podemos encontrarnos con cuatro curvas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Aquí tenéis una imagen de cómo conseguir cada una de ellas:


Cónicas


(Sacada de aquí.)

Pero hay otra formas de definir estas cónicas. La circunferencia es la curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un cierto punto denominado centro; la parábola es la curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un cierto punto, denominado foco, y de una recta, llamada directriz; la elipse puede verse como la curva formada por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos dados, llamados focos, es la misma; y la hipérbola como la curva formada por los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos dados (en valor absoluto), también denominados focos, es constante.


Fijémonos en los dos últimos casos: suma y resta (en valor absoluto) de distancias. Poco curiosos seríamos si no estuviéramos tentados a probar con las otras operaciones elementales. Y por aquí ya lo hemos sido. La curva formada por los puntos cuyo producto de distancias a dos puntos dados, llamados de nuevo focos, es constante es la lemniscata , que ya no es una cónica pero sí que es una curva muy interesante.


¿Y qué ocurre con el cociente? Pues eso es lo que vamos a ver hoy. Vamos a tratar de completar este esquema:



Suma de distancias constante=elipse; resta (en valor absoluto) de distancias constante=hipérbola; producto de distancias constante=lemniscata; cociente de distancias constante=¿?



Cociente de distancias constante igual a curva muy conocida


Hay varias formas de tratar el tema, pero aquí lo vamos a hacer de forma analítica, es decir, con coordenadas. De esta forma, y teniendo en cuenta que sin pérdida de generalidad podemos suponer que los dos puntos fijos iniciales están sobre el eje X de forma simétrica respecto del origen, el planteamiento de la cuestión quedaría así:



Dados dos puntos P_1=(a,0) y P_2=(-a,0), ¿qué curva es la formada por los puntos (x,y) tales que el cociente de distancias a P_1 y P_2 es una cierta constante d?



Será un pájaro, será un avión. Pues no. En realidad es…


…paciencia, que nos quedan algunas cuentecitas.


En primer lugar recordemos que la distancia euclídea entre dos puntos A=(a_1,a_2) y B=(b_1,b_2) del plano de define así:


dist(A,B)=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}


Usando eso, el planteamiento descrito antes nos dice que lo que queremos saber es qué curva es la formada por los puntos (x,y) que cumple la siguiente igualdad:


\cfrac{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}=d


Elevando al cuadrado en ambos lados y pasando el numerador multiplicando a la derecha obtenemos la siguiente igualdad:


(x-a)^2+y^2=d^2 \; ((x+a)^2+y^2)


Operamos a ambos lados, y nos queda:


x^2-2ax+a^2+y^2=d^2x^2+2d^2ax+d^2a^2+d^2y^2


Se va viendo ya, ¿verdad? Sigamos.


Si nos llevamos todos los términos al lado derecho de la igualdad y agrupamos de manera conveniente obtenemos lo siguiente:


(d^2-1) x^2+(d^2-1) y^2+(2ad^2+2a) x+(d^2-1) a^2=0


Ya casi está. Dividimos ahora en ambos lados entre d^2-1, obteniendo lo siguiente:


x^2+y^2+\cfrac{2a(d^2+1)}{d^2-1} \; x +a^2=0


Ya no hay dudas, ¿no? Efectivamente, la curva buscada es, sorprendentemente, una circunferencia. ¿Qué circunferencia? Para describirla necesitamos el centro y el radio, que vamos a obtener de la expresión anterior completando cuadrados en x , es decir, utilizando que


x^2+kx=\left (x+\frac{k}{2} \right )^2- \left ( \frac{k}{2} \right )^2


Nos queda la siguiente expresión:


\left ( x+\cfrac{a(d^2+1)}{d^2-1} \right )^2+y^2+a^2-\cfrac{a^2(d^2+1)^2}{(d^2-1)^2}=0


Operando los dos últimos términos y pasando el resultado a la derecha obtenemos la ecuación de la circunferencia en su forma general:


\left ( x+\cfrac{a(d^2+1)}{d^2-1} \right )^2+y^2=\cfrac{4a^2d^2}{(d^2-1)^2}


Es decir, la curva formada por los puntos (x,y) tales que el cociente de sus distancias a dos puntos dados, P_1=(a,0) y P_2=(-a,0), es una constante d es la circunferencia de centro


\left (- \cfrac{a(d^2+1)}{d^2-1},0 \right )


y radio \cfrac{2ad}{d^2-1}.


¿Esperabais que la curva buscada fuera una circunferencia? Yo no, la verdad.


Bueno, vamos a hacer algunos comentarios sobre el tema. Si os fijáis, la ecuación de esta circunferencia no tiene sentido si d=1. ¿Qué ocurre en este caso? Volvamos al paso donde se elevó al cuadrado y se pasó el denominador a la derecha:


(x-a)^2+y^2=(x+a)^2+y^2


Si operamos ahora, como antes, nos queda lo siguiente:


x^2-2ax+a^2+y^2=x^2+2ax+a^2+y^2


Si simplificamos los términos iguales a ambos lados de la igualdad obtenemos la siguiente expresión:


-2ax=2ax


Pasando todo al lado izquierdo y dividiendo entre -2a (recordemos que a \ne 0) obtenemos que la curva formada por los puntos cuyo cociente de distancias a P_1 y P_2 es constantemente 1 es la recta x=0, es decir, el eje Y. En general, para dos puntos cualesquiera, esta curva correspondería con la mediatriz del segmento que une dichos puntos.


¿Y si d < 1? El radio de la circunferencia buscada sería un número negativo. ¿Qué hacemos? Muy sencillo: cambiamos los papeles de P_1 y P_2, pasando a ser {1 \over b} > 1 el cociente constante de las distancias.


Y para terminar os dejo un applet de GeoGebra donde podéis ver gráficamente lo que hemos estado describiendo en esta entrada. Tenéis tres parámetros con cuyo valor podéis jugar:



  • El primero p (en verde), gira el punto P a lo largo de la circunferencia, y moviéndolo podéis ver que para cualquier punto el cociente de distancias es siempre el mismo. Podéis moverlo vosotros mismos o pulsar el botón Play de abajo a la izquierda para que lo haga solo.

  • El segundo, a (en rojo) controla la colocación de los puntos, y va de 1 a 6, esto es, podemos representar la situación anterior para todas las parejas de puntos (a,0), \; (-a,0) con 1 \le a \le 6.

  • Y el tercero, d (en azul), nos permite definir el valor concreto que queremos darle al cociente de distancias, que he definido en este applet entre 1,5 (cerca de 1 hacía cosas raras) y 10.


Aquí lo tenéis:



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